Juggling and applications to q-analogues

We consider juggling patterns where the juggler can only catch and throw one ball at a time, and patterns where the juggler can handle many balls at the same time. Using a crossing statistic, we obtain explicit q-enumeration formulas. Our techniques give a natural combinatorial ~te~retation of the q-Stirling numbers of the second kind and a bijective proof of an identity of Carl&. By generaking these techniques, we give a bijective proof of a q-identity involving unitary compositions due to Haglund. Also, juggling patterns enable us to easily compute the Poincark series of the affine Weyl group A,,1. Nous considerons des configurations de jonglerie darts lesquelles le jongleur ne peut attraper ou lancer qu’une seule balle a la fois, ainsi que les ~nfi~rations oh le jongleur peut manipuler plusieurs balles a la fois. En considerant une statistique de croisements, nous obtenons des formules explicites de q&mmCration. Nos techniques fournissent des interpretations combinatoires nature&s pour les q-nombres de Stirling de deuxieme espke ainsi qu’une preuve bijective dune identite de Carlitz. Gkneralisant ces techniques, nous donnons une preuve bijective dune q-identite des compositions unitaires due a Haglund. Les configurations de jonglerie nous permettent aussi de calculer la strie de Poincare du groupe du Weyl affine &_ 1.